Mert nagy élvezet parasztnak pappal évelődni.
In: Mikszáth Kálmán: Szent Péter esernyője
re:
Mérő László
Maga itt a tánctanár? - Hallgatólagos tudás
Magyar Narancs XXIII. évf. 26. szám (2011.06.30)
Alább Mérő László cikkében szereplő feladatról lesz szó, annak a szerző szerinti és egy attól eltérő megoldásáról. Az eredet feladat itt olvasható.
S P O I L E R !
|
Az egyszerűbb tárgyalhatóság kedvéért kicsit átszövegezzük a feladatot, hiszen az a klasszikus "milyen színű sapka van a fejemen?" feladatok mintájára épül. Az alábbi megfeleltetéseket alkalmazzuk:
- fehér sapkát visel, akit nem csal a felesége
- kék sapkát visel, akit csal a felesége
- mindenki látja a többiek sapkáját, a saját fején lévő sapkát viszont nem
- ha valaki megtudja magáról, hogy kék sapkát visel, akkor másnap reggel nyolckor le kell tennie a sapkáját maga elé.
- a hírnök a nulladik napon bejelenti, hogy van a csoportban kék sapkát viselő személy; az események az első, második stb. napokon történhetnek
Később kiderül, hogy a fehér sapkát viselőknek semmi befolyásuk nincs a megoldásra, számuk akárhány lehet, beleértve a nullát is. Ezért a továbbiakban csak a kék sapkát viselőkkel foglalkozunk. Köztük zajlik a folyamat, melynek során mindegyikük lát n-1 kék sapkát, és ki akarja találni, hogy a saját fején milyen színű sapka van.
A Mérő László eredményének megfelelő megoldás
A módszer az lesz, hogy előbb megnézzük a helyzetet egy olyan csoportban, melynek egy kéksapkás és tetszés szerinti számú fehérsapkás tagja van. Majd újabb és újabb kéksapkásokat adunk hozzá, és figyeljük, mi változott. Később fontos lesz, ezért minden új csoporttagtól megkérdezzük, hány nap múlva lesz megoldás, ha kék, illetve hány nap múlva, ha fehér sapka van a fején, továbbá leírjuk, hogy az illető hogyan látja saját helyzetét.
Az eredményeket tartalmazó táblázat oszlopai:
A(n) - az új belépő sorszáma
K(lát) - az új belépő ennyi kék sapkát lát
N(f) - az új belépő ennyi nap hosszúnak látja a játszmát, ha azt feltételezi, hogy fehér sapkát visel.
N(k) - az új belépő ennyi nap hosszúnak látja a játszmát, ha azt feltételezi, hogy kék sapkát visel.
K(lát) | N(f) | N(k) | A(n) helyzete | |||
| A(1) | 0 | X | 1 | Csak fehér sapkát látok, tehát a hírnök által említett kék sapka csakis rajtam lehet. Az első napon, nyolckor leteszem a sapkám. | ||
| A(2) | 1 | 1 | 2 | Egy kék sapkát látok. Ha a gazdája holnap nyolckor leteszi a sapkáját, akkor rajtam fehér sapka van. Ha nem teszi le, akkor ő is kék sapkát lát rajtam, tehát mindketten letesszük a sapkánkat a második napon. | ||
| A(3) | 2 | 2 | 3 | Látok két kék sapkát. Ha rajtam fehér van, akkor ők lejátsszák az A(2) szerinti kétfős játszmát egymás közt, és leteszik a sapkájukat a második napon.
| ||
| A(4) | 3 | 3 | 4 | Három kék sapkát látok. Ha rajtam fehér van, akkor ők egy háromfős játszma után a harmadik napon leteszik a sapkájukat. Ha nem, akkor mindnyájan letesszük a sapkát a negyediken. | ||
| A(5) | 4 | 4 | 5 | Négy kék sapkát látok. Ha rajtam fehér van, akkor ők négyen leteszik a sapkájukat a negyedik napon. Ha kék van rajtam, akkor letesszük mind az öten az ötödiken. | ||
| A(6) | 5 | 5 | 6 | Öt kék sapkát látok. Vagy leteszik a sapkájukat az ötödik napon, vagy mind együtt a hatodikon. | ||
Ezzel eljutottunk a Mérő László által közölt megoldáshoz: hat asszony csalta a férjét, a hatodik napon beteljesült a sorsuk.
A Mérő László eredményétől eltérő megoldás
Képzeljük el a helyzetet: ott nézi egymást hat ember, kék sapkában, hat napig. De minek? Igaz, az előző megoldás logikájából hat nap következik, de az eredmény teljesen ellentmond a szemléletnek.
Öt kék sapka láttán gondolhatja-e bármelyikük is, hogy az első nap történni fog valami? Semmiképp. Erre csak akkor gondolhatnának, ha öt ember csak egyetlen kék sapkát látna, a hatodik meg egyet sem. Történhetne-e valami a második nap? Hát a harmadikon?
Látszik, hogy az első megoldás nem teljes. Nem vettük figyelembe azt, hogy kihagyhatók azok a napok, amelyekről mindenki tudja, hogy nem várható tőlük információ. Lássuk, melyik napokat lehet kihagyni?
A táblázatban egymás mellett szerepelnek az előző megfontolások "egykörös gondolkodás" címmel, valamint a kihagyható napokra vonatkozó megfontolások, "kétkörös gondolkodás"' címmel. Utóbbi mellett feltüntettük a kihagyható napok számát (-N), valamint az új N(f) és N(k) értékeket.
K(lát) | N(f) | N(k) | Egykörös gondolkodás | Kétkörös gondolkodás | -N | N(f) | N(k) | |||||
| A(1) | 0 | X | 1 | Csak fehér sapkát látok, tehát a hírnök által említett kék sapka csakis rajtam lehet. Az első napon, nyolckor leteszem a sapkám. | 0 | X | 1 | |||||
| A(2) | 1 | 1 | 2 | Egy kék sapkát látok. Ha ő holnap nyolckor leteszi a sapkáját, akkor rajtam fehér sapka van. Ha nem teszi le, akkor ő is kék sapkát lát rajtam, tehát mindketten letesszük a sapkánkat a második napon. | 0 | 1 | 2 | |||||
| A(3) | 2 | 2 | 3 | Látok két kék sapkát. Ha rajtam fehér van, akkor ők lejátsszák az A(2) szerinti kétfős játszmát egymás közt, és leteszik a sapkájukat a második napon.
| Látok két kék sapkát, ebből számomra nyilvánvaló, hogy az első nap senki sem fogja letenni a sapkáját. Ha rajtam kék van, akkor ők két-két kék sapkát látnak, így nekik is egyértelmű, hogy itt nem lesz első nap eredmény, tehát átugorhatnánk egy napot. Azonban mindannyian tudják, hogy magukon akár fehér sapka is lehet, így bármelyik másik kék-fehéret láthat, tehát nem tudhatja, hogy az első nap kihagyható. | 0 | 2 | 3 | ||||
| A(4) | 3 | 3 | 4 | Három kék sapkát látok. Ha rajtam fehér van, akkor ők egy háromfős játszma után a harmadik napon leteszik a sapkájukat. Ha nem, akkor mindnyájan letesszük a sapkát a negyediken. | Három kék sapkát látok, ebből tudom, hogy legkorábban a harmadik napon lesz eredmény. A többiek is látnak legalább két kék sapkát (és tudják, hogy azt a kettőt én is látom), ezért A(3) alapján mindenki biztos lehet benne, hogy az első napon senki sem fogja letenni a sapkáját. Így az első naptól nem várható információ, ezért kihagyható. A második nap viszont már nem hagyható ki, mert bár én három kéket látok, de ha az én sapkám fehér, akkor lesz olyan, aki csak kettőt. Aki pedig két kék sapkát lát, az A(3) szerint már a második napra várhat eredményt. Tehát ha rajtam fehér van, akkor ők a második napon teszik le a sapkájukat, ha kék, akkor a harmadikon.
| 1 | 2 | 3 | ||||
| A(5) | 4 | 4 | 5 | Négy kék sapkát látok. Ha rajtam fehér van, akkor ők négyen leteszik a sapkájukat a negyedik napon. Ha kék van rajtam, akkor letesszük mind az öten az ötödiken. | Négy kék sapkát látok, ebből tudom, hogy legkorábban a negyedik napon lesz eredmény. A többiek is látnak legalább három kék sapkát (és tudják, hogy azt a hármat én is látom), ezért A(4) alapján mindenki biztos lehet benne, hogy az első és a második naptól nem várható információ, ezért két nap kihagyható. Tehát ha rajtam fehér van, akkor ők a második napon teszik le a sapkájukat, ha kék, akkor a harmadikon. | 2 | 2 | 3 | ||||
| A(6) | 5 | 5 | 6 | Öt kék sapkát látok. Vagy leteszik a sapkájukat az ötödik napon, vagy mind együtt a hatodikon. | Öt kék sapkát látok, ebből tudom, hogy legkorábban az ötödik napon lesz eredmény. A többiek is látnak legalább négy kék sapkát (és tudják, hogy azt a hármat én is látom), ezért A(5) alapján mindenki biztos lehet benne, hogy az első és második naptól nem várható információ, ezért mindkettő kihagyható. Tehát ha rajtam fehér van, akkor ők a második napon teszik le a sapkájukat, ha kék, akkor a harmadikon. | 3 | 2 | 3 | ||||
Vagyis bármekkora elemszám az eredményt legfeljebb három nap múlva megkapjuk. Nem mintha olyan sürgős lenne a sapkalevétel, vagy a csalfa nők megbüntetése, de gondoljunk bele, hogy milliós faluban egymillió napig kellene várnunk. Vagy ha egy más helyzetre alkalmaznánk a modellt, ugyancsak felsülnénk a jóslatunkkal, mert egy önműködő rendszer sokkal előbb kidobhatná a megoldást. De a legfontosabb tán mégis az, hogy feloldottuk az első megoldás és a szemlélet közti ellentmondást.
Sajnos fogalmam sincs, hogy az ilyen "tudom, hogy ő nem tudja, hogy a másik tudja"-típusú feladatokat fel lehet-e matematikai formában. és aztán meg lehet-e őket oldani, mint egy egyenletrendszert. Vagy tényleg csak intuitív módon lehet eljutni a megoldáshoz, és a feladatnak nincs matematikai leírása és zárt megoldása? Ha így van, akkor holnap valakinek eszébe jut egy új érv, és bebizonyítja, hogy a hírnök nem mondott igazat, az egytől-egyig hűséges asszonyok végzetét pedig egy végig nem vitt logikai megfontolás okozta.
